Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{9}}{1 + x^{20}} d x$

Paso 1

Reescribe $x^{20}$ como ${(x^{10})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{9}}{1 + {(x^{10})}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{10}$ . Entonces $d u = 10 x^{9} d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{10}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$10 x^{9}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{10} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + u^{2}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 10} d u$

Paso 3.2

Mueve $10$ a la izquierda de $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{10 (1 + u^{2})} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ con respecto a $u$ es $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{10} (\arctan (u) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{10} \arctan (u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{10}$ .

$\frac{1}{10} \arctan (x^{10}) + C$