Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Paso 1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Paso 3

Expande $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.4

Resta $4$ de $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.7

Resta $4$ de $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.8

Reordena $1$ y $- 3 x^{- 2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Paso 3.9

Mueve $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Paso 5

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Paso 9.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$