Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{4 x + 9} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x + 9$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 9$ .

$\frac{1}{6} {(4 x + 9)}^{\frac{3}{2}} + C$