Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Paso 1

Sea $x = \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 2.2.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 2.2.1.4

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.1.5

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Paso 2.2.2.2

Reescribe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 4

Sea $u = \tan (t)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \tan (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan (t)$ con respecto a $t$ es $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 5

Multiplica $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 6.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$