Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 3}{x^{2} + 6 x + 7} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 6 x + 7$ . Entonces $d u = (2 x + 6) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (x + 3) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 6 x + 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 6 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 7]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 6 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2 x + 6$ y $0$ .

$2 x + 6$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 6 x + 7$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 6 x + 7 |) + C$