Cálculo Ejemplos

$\int 3 t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Paso 2

Sea $u = t^{3} + 2$ . Entonces $d u = 3 t^{2} d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = t^{3} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $t^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Paso 2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Paso 2.1.5

Suma $3 t^{2}$ y $0$ .

$3 t^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{3} + 2$ .

$\frac{2}{3} {(t^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$