Cálculo Ejemplos

$\int 2 x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 5 + 4 x^{3}$ . Entonces $d u = 12 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 5 + 4 x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 4 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{12} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt[4]{u}$ y $\frac{1}{12}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{12} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{12} \int \sqrt[4]{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $2$ .

$\frac{2}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{u}$ como $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $30$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{15} {(5 + 4 x^{3})}^{\frac{5}{4}} + C$