Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + x^{12}$ . Entonces $d u = 12 x^{11} d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + x^{12}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{12}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Paso 2

Combina $u^{11}$ y $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{11}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{12} u^{12}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{12}$ y $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $4096$ y $12$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $4$ de $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Paso 5.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Paso 5.2.6

Para escribir $\frac{1024}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Paso 5.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $\frac{1024}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Paso 5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Paso 5.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $1024$ por $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Paso 5.2.9.2

Resta $1$ de $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $4095$ y $12$ .

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Paso 5.2.10.1

Factoriza $3$ de $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Paso 5.2.11

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Paso 5.2.12

Multiplica $12$ por $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Paso 5.2.13

Cancela el factor común de $1365$ y $48$ .

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Paso 5.2.13.1

Factoriza $3$ de $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

Paso 5.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.13.2.1

Factoriza $3$ de $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Paso 5.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Paso 5.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{455}{16}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{455}{16}$

Forma decimal:

$28.4375$

Forma de número mixto:

$28 \frac{7}{16}$

Paso 7