Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

Paso 1

Sea $u = - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u_{upper} = - 4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 4$ y en $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 7.2

Combina $e^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 7.3

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 7.4

Mueve $e^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.24542109 \dots$

Paso 9