Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 1.2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{4} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $2 t^{\frac{1}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.4

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 - 2 \cdot 1$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 - 2$

Paso 3.2.8

Resta $2$ de $4$ .

$2$

Paso 4