Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{2} + 9$ . Entonces $d u = 8 x d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$8 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$u_{lower} = 4 + 9$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $9$ .

$u_{lower} = 13$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $4$ por $49$ .

$u_{upper} = 196 + 9$

Paso 1.5.2

Suma $196$ y $9$ .

$u_{upper} = 205$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $205$ y en $13$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $205^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Combina $13^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Paso 6.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2

Combinar.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ al numerador.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 7.3.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 7.3.3

Factoriza $2$ de $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Paso 7.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Paso 7.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

Paso 7.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $2$ de $8 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6.3

Multiplica $205^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 7.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Forma decimal:

$240.69009594 \dots$

Paso 9