Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{6}}{1 - x^{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 1 - x^{5}$ .

$\frac{(1 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{(1 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $1 - x^{5}$ .

$\frac{6 \cdot (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.7.2

Multiplica $x^{6}$ por $1$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $x^{6}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $4$ y $6$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 4

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{10}$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $x^{5}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Suma $5$ y $5$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{6 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Suma $- 6 x^{10}$ y $5 x^{10}$ .

$\frac{6 x^{5} - x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{10} + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $x^{5}$ de $- x^{10} + 6 x^{5}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $x^{5}$ de $- x^{10}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Factoriza $x^{5}$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.7

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{5}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.9

Reescribe $- (x^{5} - 6)$ como $- 1 (x^{5} - 6)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$