Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 105 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 105 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 105 x)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 105 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 105$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 105 x$ con respecto a $x$ es $- 105 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 105 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 105 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 105$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 105$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x - 105$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 105]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 105)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 105$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 105$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 + 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $6 x - 6$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 6 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 6$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = 6$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $6$ por $6$ .

$x = 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ en $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} - 105 \cdot 1$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} - 105 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 - 105 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 - 105 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 105$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 - 105$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 - 105$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $105$ de $- 2$ .

$f (1) = - 107$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 107$ .

$- 107$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x$ es $(1, - 107)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, - 107)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.9$ en la expresión.

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $0.9$ .

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

Paso 6.2.2

Resta $6$ de $5.4$ .

$f'' (0.9) = - 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $0.9$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

Paso 7.2.2

Resta $6$ de $6.6$ .

$f'' (1.1) = 0.6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(1, - 107)$ .

$(1, - 107)$

Paso 9