Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ , $0 < x < 2.5$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 34 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 34$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 34 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 34 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 34 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} - 34 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 34$ .

$12 x^{2} - 68 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \cdot 1$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $60$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 68 x + 60$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $4$ de $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 68 x + 60 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $4$ de $- 68 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 60 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4$ de $60$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 4 (15) = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $4$ de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15) = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $4$ de $4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15)$ .

$4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 17 x + 15$ por $1$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 17$ y $c = 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 15)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.3

Resta $180$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.3

Resta $180$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.2.7.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.3

Resta $180$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.2.8.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ por $x$ .

$4 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.4.1.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $216$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.4

Usa el teorema del binomio.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.5.1

Eleva $17$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.2

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.3

Multiplica $3$ por $289$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.4

Multiplica $3$ por $17$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.5

Reescribe ${\sqrt{109}}^{2}$ como $109$ .

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Paso 1.4.1.2.1.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{109}$ como $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.5.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.6

Multiplica $51$ por $109$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.7

Reescribe ${\sqrt{109}}^{3}$ como $\sqrt{109^{3}}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.8

Eleva $109$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.9

Reescribe $1295029$ como $109^{2} \cdot 109$ .

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Paso 1.4.1.2.1.5.9.1

Factoriza $11881$ de $1295029$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.9.2

Reescribe $11881$ como $109^{2}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.5.10

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.6

Suma $4913$ y $5559$ .

$\frac{10472 + 867 \sqrt{109} + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.7

Suma $867 \sqrt{109}$ y $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.8

Cancela el factor común de $10472 + 976 \sqrt{109}$ y $54$ .

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Paso 1.4.1.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $10472$ .

$\frac{2 (5236) + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $976 \sqrt{109}$ .

$\frac{2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.8.3

Factoriza $2$ de $2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})$ .

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.8.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.8.4.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.10

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.11.1

Factoriza $2$ de $- 34$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.11.2

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.11.3

Cancela el factor común.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.11.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.12

Combina $- 17$ y $\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.13

Reescribe ${(17 + \sqrt{109})}^{2}$ como $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.14

Expande $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 + \sqrt{109}) + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.15.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.15.1.1

Multiplica $17$ por $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.1.2

Mueve $17$ a la izquierda de $\sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \cdot \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109 \cdot 109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.1.4

Multiplica $109$ por $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{11881})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.1.5

Reescribe $11881$ como $109^{2}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109^{2}})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.2

Suma $289$ y $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.15.3

Suma $17 \sqrt{109}$ y $17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.16

Cancela el factor común de $398 + 34 \sqrt{109}$ y $18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.16.1

Factoriza $2$ de $- 17 (398 + 34 \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.16.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.16.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.1.2.1.18

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.18.1

Factoriza $6$ de $60$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.4.1.2.1.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.4.1.2.1.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 + \sqrt{109})$

Paso 1.4.1.2.1.19

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.1.20

Multiplica $10$ por $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.2

Para escribir $- \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Multiplica $- 17$ por $199$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.3

Multiplica $17$ por $- 17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.5

Multiplica $- 3383$ por $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.6

Multiplica $3$ por $- 289$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.7

Resta $10149$ de $5236$ .

$\frac{- 4913 + 488 \sqrt{109} - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.5.8

Resta $867 \sqrt{109}$ de $488 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.6

Para escribir $170$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.7

Combina $170$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.1.2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $170$ por $27$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 4590}{27} + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.8.3

Suma $- 4913$ y $4590$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.1.2.9

Para escribir $10 \sqrt{109}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 1.4.1.2.10

Combina fracciones.

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Paso 1.4.1.2.10.1

Combina $10 \sqrt{109}$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.11.1

Multiplica $27$ por $10$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 270 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.1.2.11.2

Suma $- 379 \sqrt{109}$ y $270 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.1.2.12

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.12.1

Reescribe $- 323$ como $- 1 (323)$ .

$\frac{- 1 (323) - 109 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.1.2.12.2

Factoriza $- 1$ de $- 109 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 1 (323) - (109 \sqrt{109})}{27}$

Paso 1.4.1.2.12.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (323) - (109 \sqrt{109})$ .

$\frac{- 1 (323 + 109 \sqrt{109})}{27}$

Paso 1.4.1.2.12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ por $x$ .

$4 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $216$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.4

Usa el teorema del binomio.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.5.1

Eleva $17$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.2

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.3

Multiplica $3$ por $289$ .

$\frac{4913 + 867 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $867$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.5

Multiplica $3$ por $17$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{109}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 (1 {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.8

Multiplica ${\sqrt{109}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.9

Reescribe ${\sqrt{109}}^{2}$ como $109$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.5.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{109}$ como $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.5.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.9.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.10

Multiplica $51$ por $109$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.11

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{109}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.13

Reescribe ${\sqrt{109}}^{3}$ como $\sqrt{109^{3}}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.14

Eleva $109$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.15

Reescribe $1295029$ como $109^{2} \cdot 109$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.5.15.1

Factoriza $11881$ de $1295029$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.15.2

Reescribe $11881$ como $109^{2}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.16

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - (109 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.5.17

Multiplica $109$ por $- 1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.6

Suma $4913$ y $5559$ .

$\frac{10472 - 867 \sqrt{109} - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.7

Resta $109 \sqrt{109}$ de $- 867 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.8

Cancela el factor común de $10472 - 976 \sqrt{109}$ y $54$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $10472$ .

$\frac{2 (5236) - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $- 976 \sqrt{109}$ .

$\frac{2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.8.3

Factoriza $2$ de $2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})$ .

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.8.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.8.4.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.10

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.11.1

Factoriza $2$ de $- 34$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.11.2

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.11.3

Cancela el factor común.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.11.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.12

Combina $- 17$ y $\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.13

Reescribe ${(17 - \sqrt{109})}^{2}$ como $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.14

Expande $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 - \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.2.2.1.15.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.15.1.1

Multiplica $17$ por $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.2

Multiplica $- 1$ por $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.3

Multiplica $17$ por $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4

Multiplica $- \sqrt{109} (- \sqrt{109})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 1 \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4.2

Multiplica $\sqrt{109}$ por $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4.3

Eleva $\sqrt{109}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4.4

Eleva $\sqrt{109}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1 + 1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5

Reescribe ${\sqrt{109}}^{2}$ como $109$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{109}$ como $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {(109^{\frac{1}{2}})}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.2

Suma $289$ y $109$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.15.3

Resta $17 \sqrt{109}$ de $- 17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.16

Cancela el factor común de $398 - 34 \sqrt{109}$ y $18$ .

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Paso 1.4.2.2.1.16.1

Factoriza $2$ de $- 17 (398 - 34 \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1.16.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Paso 1.4.2.2.1.18

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.18.1

Factoriza $6$ de $60$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.4.2.2.1.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Paso 1.4.2.2.1.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 - \sqrt{109})$

Paso 1.4.2.2.1.19

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 (- \sqrt{109})$

Paso 1.4.2.2.1.20

Multiplica $10$ por $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 (- \sqrt{109})$

Paso 1.4.2.2.1.21

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.2

Para escribir $- \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.2

Multiplica $- 17$ por $199$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.3

Multiplica $- 17$ por $- 17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 + 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.5

Multiplica $- 3383$ por $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.6

Multiplica $3$ por $289$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.7

Resta $10149$ de $5236$ .

$\frac{- 4913 - 488 \sqrt{109} + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.5.8

Suma $- 488 \sqrt{109}$ y $867 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.6

Para escribir $170$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.7

Combina $170$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.8.2

Multiplica $170$ por $27$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 4590}{27} - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.8.3

Suma $- 4913$ y $4590$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109}$

Paso 1.4.2.2.9

Para escribir $- 10 \sqrt{109}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 1.4.2.2.10

Combina fracciones.

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Paso 1.4.2.2.10.1

Combina $- 10 \sqrt{109}$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.2.11.1

Multiplica $27$ por $- 10$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 270 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.2.2.11.2

Resta $270 \sqrt{109}$ de $379 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.2.2.12

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.4.2.2.12.1

Reescribe $- 323$ como $- 1 (323)$ .

$\frac{- 1 (323) + 109 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.2.2.12.2

Factoriza $- 1$ de $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})}{27}$

Paso 1.4.2.2.12.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})$ .

$\frac{- 1 (323 - 109 \sqrt{109})}{27}$

Paso 1.4.2.2.12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}), (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Paso 3

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 3.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$

Paso 3.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6})$ en la primera derivada $12 x^{2} - 68 x + 60$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 68 \cdot 0 + 60$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 68$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 60$

Paso 3.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 60$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $0$ y $60$ .

$f' (0) = 60$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $60$ .

$60$

Paso 3.3

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6})$ en la primera derivada $12 x^{2} - 68 x + 60$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 68 \cdot 3 + 60$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 60$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $12$ por $9$ .

$f' (3) = 108 - 68 \cdot 3 + 60$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 68$ por $3$ .

$f' (3) = 108 - 204 + 60$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $204$ de $108$ .

$f' (3) = - 96 + 60$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 96$ y $60$ .

$f' (3) = - 36$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 36$ .

$- 36$

Paso 3.4

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$ en la primera derivada $12 x^{2} - 68 x + 60$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = 12 {(7)}^{2} - 68 \cdot 7 + 60$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = 12 \cdot 49 - 68 \cdot 7 + 60$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $12$ por $49$ .

$f' (7) = 588 - 68 \cdot 7 + 60$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $- 68$ por $7$ .

$f' (7) = 588 - 476 + 60$

Paso 3.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.4.2.2.1

Resta $476$ de $588$ .

$f' (7) = 112 + 60$

Paso 3.4.2.2.2

Suma $112$ y $60$ .

$f' (7) = 172$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $172$ .

$172$

Paso 3.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ , $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ es un máximo local.

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ es un máximo local

Paso 3.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ , $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ es un mínimo local.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ es un mínimo local

Paso 3.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ es un mínimo local

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ es un mínimo local

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Sin mínimo absoluto

Paso 5