Cálculo Ejemplos

$x = \tan (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (y)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (y) = \pm 0$

Paso 7.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\cos (y) = 0$

Paso 7.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (0)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Paso 7.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 7.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 7.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.6.2

Combina fracciones.

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Paso 7.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 7.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.7

Obtén el período de $\cos (y)$ .

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Paso 7.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.8

El período de la función $\cos (y)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.9

Consolida las respuestas.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ .

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

Paso 8.2

Reordena $\frac{π}{2}$ y $π n$ .

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

Paso 8.3

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

Paso 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

Paso 9.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$n = - \frac{1}{2}$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

Paso 11