Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 2 x$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = 2 x - x^{2}$

Paso 1.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x - x^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $2 x - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}$

Paso 1.3.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}$

Paso 1.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (2 - x)}$

Paso 1.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

Paso 1.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

Paso 1.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (2 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (2 - x)}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 2 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Paso 3.2.3

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x = 2$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' = 2 - 2 x$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 y y' = 2 - 2 x$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 y y' = 2 - 2 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

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Paso 4.1

Resta $\frac{1}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{y} = - \frac{1}{y}$

Paso 4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- x = - 1$

Paso 4.3

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (2 - x)}$ at $x = 1$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \sqrt{(1) (2 - (1))}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2 - (1)$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - (1)}$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - 1}$

Paso 5.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = \sqrt{1}$

Paso 5.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 1$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (2 - x)}$ at $x = 1$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \sqrt{(1) (2 - (1))}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2 - (1)$ por $1$ .

$f (1) = - \sqrt{2 - (1)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - \sqrt{2 - 1}$

Paso 6.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = - \sqrt{1}$

Paso 6.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = 1, y = - 1$

$y = 1, y = - 1$

Paso 8