Cálculo Ejemplos

$x^{2} - 8 x y + y^{2} = 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x y$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x - 8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 8 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x - 8 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x - 8 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x - 8 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x - 8 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 8 (x y' + y) + 2 y y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 8 (x y') - 8 y + 2 y y'$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x - 8 x y' - 8 y + 2 y y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 8 x y' + 2 y y' + 2 x - 8 y$

Paso 3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 8 x y' + 2 y y' + 2 x - 8 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 x y' + 2 y y' - 8 y = - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $8 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 8 x y' + 2 y y' = - 2 x + 8 y$

Paso 5.2

Factoriza $2 y'$ de $- 8 x y' + 2 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $- 8 x y'$ .

$2 y' (- 4 x) + 2 y y' = - 2 x + 8 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' (- 4 x) + 2 y' y = - 2 x + 8 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- 4 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 4 x + y) = - 2 x + 8 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 y' (- 4 x + y) = - 2 x + 8 y$ por $2 (- 4 x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 y' (- 4 x + y) = - 2 x + 8 y$ por $2 (- 4 x + y)$ .

$\frac{2 y' (- 4 x + y)}{2 (- 4 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (- 4 x + y)}{2 (- 4 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 4 x + y)}{- 4 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 4 x + y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 4 x + y)}{- 4 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 4 x + y)} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{- 4 x + y} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{8 y}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $8 y$ .

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{2 (4 y)}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{2 (4 y)}{2 (- 4 x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x}{- 4 x + y} + \frac{4 y}{- 4 x + y}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x + 4 y}{- 4 x + y}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 4 y}{- 4 x + y}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $4 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (- 4 y)}{- 4 x + y}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 4 y)$ .

$y' = \frac{- (x - 4 y)}{- 4 x + y}$

Paso 5.3.3.2.5

Reescribe $- (x - 4 y)$ como $- 1 (x - 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- 4 x + y}$

Paso 5.3.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- (4 x) + y}$

Paso 5.3.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- (4 x) - 1 (- y)}$

Paso 5.3.3.2.8

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- (4 x - y)}$

Paso 5.3.3.2.9

Reescribe $- (4 x - y)$ como $- 1 (4 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- 1 (4 x - y)}$

Paso 5.3.3.2.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (x - 4 y)}{- 1 (4 x - y)}$

Paso 5.3.3.2.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x - 4 y}{4 x - y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 y}{4 x - y}$