Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $x^{2} + 25$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.2.6

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.2.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4.4

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} + 25)}^{2}$ como $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.3

Expande $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.4.1.2

Mueve $25$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.4.1.3

Multiplica $25$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.4.2

Suma $25 x^{2}$ y $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.6.1

Multiplica $50$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.10.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.11

Expande $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.12.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.4

Multiplica $4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.1.5

Multiplica $25$ por $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.2

Resta $100 x^{3}$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.1.12.3

Suma $4 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.2

Suma $- 2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.3.3

Resta $2500 x$ de $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

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Paso 3.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.4

Factoriza $u^{2} - 50 u - 1875$ con el método AC.

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Paso 3.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 1875$ y cuya suma es $- 50$ .

$- 75, 25$

Paso 3.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 25$ y ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

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Paso 3.5.5.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 3.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $x^{2} + 25$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$- x^{2} + 25 = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 25$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Divide $- 25$ por $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Paso 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Paso 6.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{25}$ .

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Paso 6.3.4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Paso 6.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 5$

Paso 6.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5$

Paso 6.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5$

Paso 6.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, - 5$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 5, - 5$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Suma $25$ y $25$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

Paso 10.2.3

Eleva $50$ a la potencia de $3$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{125000}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10 (25 - 75)}{125000}$

Paso 10.3.2

Resta $75$ de $25$ .

$\frac{10 \cdot - 50}{125000}$

Paso 10.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.4.1

Multiplica $10$ por $- 50$ .

$\frac{- 500}{125000}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común de $- 500$ y $125000$ .

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Paso 10.4.2.1

Factoriza $500$ de $- 500$ .

$\frac{500 (- 1)}{125000}$

Paso 10.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Factoriza $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Paso 10.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Paso 10.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{250}$

Paso 10.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{250}$

Paso 11

$x = 5$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 5$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 5$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{5}{25 + 25}$

Paso 12.2.1.2

Suma $25$ y $25$ .

$f (5) = \frac{5}{50}$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $5$ y $50$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (5) = \frac{5 (1)}{50}$

Paso 12.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Paso 12.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Paso 12.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5) = \frac{1}{10}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{10}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Paso 14.2.2

Suma $25$ y $25$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

Paso 14.2.3

Eleva $50$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 10 (25 - 75)}{125000}$

Paso 14.3.2

Resta $75$ de $25$ .

$\frac{- 10 \cdot - 50}{125000}$

Paso 14.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 14.4.1

Multiplica $- 10$ por $- 50$ .

$\frac{500}{125000}$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común de $500$ y $125000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.1

Factoriza $500$ de $500$ .

$\frac{500 (1)}{125000}$

Paso 14.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.2.1

Factoriza $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Paso 14.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Paso 14.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{250}$

Paso 15

$x = - 5$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 5$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 5$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 25}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 25}$

Paso 16.2.1.2

Suma $25$ y $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{50}$

Paso 16.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $50$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{50}$

Paso 16.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.2.1.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Paso 16.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Paso 16.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 5) = \frac{- 1}{10}$

Paso 16.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 5) = - \frac{1}{10}$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{10}$ .

$y = - \frac{1}{10}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ .

$(5, \frac{1}{10})$ es un máximo local

$(- 5, - \frac{1}{10})$ es un mínimo local

Paso 18