Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Paso 1.4.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Paso 1.4.2.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Paso 1.4.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (2 x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Paso 4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 5

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Paso 5.2

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 5.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 7

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 7.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 7.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 8

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 8.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 8.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 8.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.2.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 8.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 8.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 8.2.7

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Paso 11.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - \cos (0)$

Paso 11.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Paso 11.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1$

Paso 11.2

Resta $1$ de $2$ .

$1$

Paso 12

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Paso 13.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Paso 13.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 13.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Paso 15.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Paso 15.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - \cos (π)$

Paso 15.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$2 - - \cos (0)$

Paso 15.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.1.6

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - - 1$

Paso 15.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 1$

Paso 15.2

Suma $2$ y $1$ .

$3$

Paso 16

$x = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Paso 17.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Paso 17.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Paso 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Paso 17.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 17.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Paso 17.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f (π) = - 1$

Paso 17.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1.1

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.4.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 19.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Paso 19.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 19.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 19.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 19.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 19.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Paso 19.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2}$

Paso 20

$x = \frac{π}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{3}$ es un máximo local

Paso 21

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 21.2.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 21.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 21.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 21.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 21.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Paso 21.2.5

Suma $3$ y $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Paso 21.2.6

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.1

Multiplica $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.1.1

Combina $2$ y $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.3

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 23.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 23.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Paso 23.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 23.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 23.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 23.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 23.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Paso 23.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2}$

Paso 24

$x = \frac{5 π}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{5 π}{3}$ es un máximo local

Paso 25

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.5

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Paso 25.2.1.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 25.2.1.9

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 25.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 25.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 25.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 25.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 25.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Paso 25.2.5

Suma $3$ y $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Paso 25.2.6

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Paso 26

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ es un mínimo local

$(π, - 1)$ es un mínimo local

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ es un máximo local

Paso 27