Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{x^{2}}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.1.2

Evalúa el límite de $x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.2.3.2

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 3.1.3.5.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.5.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

Paso 3.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.6.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

Paso 3.1.3.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.2

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.3

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.4.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.4.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.6

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

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Paso 3.3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.4

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h x$ con respecto a $h$ es $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.7.8

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.8

Simplifica.

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Paso 3.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.8.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.8.2.3

Resta $- (- 2 x - 2 h)$ de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.8.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Paso 3.3.9

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

Paso 3.3.10

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

Paso 3.3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

Paso 3.3.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Paso 3.3.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.11.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Paso 3.3.11.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

Paso 3.3.11.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 3.3.11.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

Paso 3.3.11.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ y $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Paso 3.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Paso 3.3.14

Multiplica $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Paso 3.3.15

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Paso 3.3.16

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Paso 3.3.17

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Paso 3.3.18

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h x$ con respecto a $h$ es $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Paso 3.3.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Paso 3.3.20

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Paso 3.3.21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

Paso 3.3.22

Simplifica.

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Paso 3.3.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

Paso 3.3.22.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.22.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

Paso 3.3.22.2.2

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

Paso 3.3.22.2.3

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

Paso 3.3.22.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

Paso 3.3.22.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

Paso 3.3.22.2.6

Suma $2 h x$ y $2 h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

Paso 3.3.22.2.7

Suma $h^{2}$ y $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

Paso 3.3.22.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Paso 4.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Paso 4.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Paso 4.7

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Paso 4.8

Evalúa el límite de $x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Paso 4.9

Mueve el término $4 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Paso 6.1.2

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Paso 6.2.3

Multiplica $4 x \cdot 0$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

Paso 6.2.4

Suma $0 + x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

Paso 6.2.5

Suma $0$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

Paso 6.3

Combinar.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

Paso 6.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

Paso 6.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

Paso 6.5

Multiplica $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Paso 6.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 6.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 6.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{3}}$