Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (3 x)}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (3 x)}{\sin (3 x) \cdot (3 x)}$

Paso 2

Multiplica el numerador y el denominador por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (3 x) \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (3 x) \cdot (3 x)}$

Paso 3

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot \frac{2 x}{3 x}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5

El límite de $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.4

Evalúa el límite.

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.4.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.4.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.6.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 5.6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6

El límite de $\frac{3 x}{\sin (3 x)}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$1 \cdot \frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.2.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 6.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) (3 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{\cos (3 x) \cdot 3} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.3.9

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{3 \cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{3 \cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (3 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.6

Evalúa el límite.

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Paso 6.6.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.6.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 \cdot \sec (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$1 \cdot \sec (3 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.8.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 6.8.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 x}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{3}$

Paso 8

Evalúa el límite de $\frac{2}{3}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 \cdot \frac{2}{3}$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$