Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + y^{2} = 17$ , $(2, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Paso 1.2.4

Reordena los términos.

$2 y y' + 4 x$

Paso 1.3

Como $17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $17$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 4 x = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' = - 4 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Paso 1.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 3$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{2 (2)}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $3$ en la expresión.

$- \frac{2 (2)}{3}$

Paso 1.7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{4}{3}$ y un punto dado $(2, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $2$ y $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 3 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 9}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $8$ y $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{17}{3}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}$

Paso 3