Cálculo Ejemplos

$y = \frac{7 x}{x - 3}$ , $(6, 14)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 6$ y $y = 14$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 x}{x - 3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 3$ .

$7 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$7 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$7 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.4.1

Resta $3$ de $0$ .

$7 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Paso 1.3.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 7 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $- 7$ y $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.6.1

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{- 21}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 6$ .

$- \frac{21}{{((6) - 3)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Resta $3$ de $6$ .

$- \frac{21}{3^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{21}{9}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$- \frac{3 (7)}{9}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{7}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{7}{3}$ y un punto dado $(6, 14)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (14) = - \frac{7}{3} \cdot (x - (6))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 14 = - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 14 = 0 + 0 - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 14 = - \frac{7}{3} x - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{7}{3}$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{3}$ al numerador.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot - 6$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 (- 2))$

Paso 2.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - 7 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.4

Multiplica $- 7$ por $- 2$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + 14$

Paso 2.3.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y - 14 = - \frac{7 x}{3} + 14$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{7 x}{3} + 14 + 14$

Paso 2.3.2.2

Suma $14$ y $14$ .

$y = - \frac{7 x}{3} + 28$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{7}{3} x) + 28$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{7}{3} x + 28$

Paso 3