Cálculo Ejemplos

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el argumento en $\ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x {(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

${(x {(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

${(x {(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

${(x {(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

${(x {(x^{2} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.3

Aplica la regla del producto a $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{1} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.5

Simplifica.

$x^{2} (x^{2} - 1) > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.2.1.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.7.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{4} - 1 \cdot x^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.9

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{4} - x^{2} > 0$

Paso 1.2.3

Resuelve $x$

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Paso 1.2.3.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{4} - x^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.3.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.3.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 1.2.3.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.3.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 1.2.4

Obtén el dominio de $x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.4.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 1.2.4.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 1.2.4.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.4.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.4.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.2.4.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Paso 1.2.4.2.6.1.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.2.4.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.4.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.4.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Paso 1.2.4.2.6.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.2.4.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.4.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.2.4.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Paso 1.2.4.2.6.3.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.2.4.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 1.2.4.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq 1$

Paso 1.2.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Paso 1.2.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 1$

Paso 1.3

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.4.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.4.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.4.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 1.4.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 1.4.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.4.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.4.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.4.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Paso 1.4.6.1.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.4.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.4.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.4.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Paso 1.4.6.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.4.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.4.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.4.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Paso 1.4.6.3.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.4.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 1.4.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq 1$

Paso 1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Notación de intervalo:

$(1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Paso 2

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $1$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln ((1) \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Paso 2.2

Multiplica $\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)}$ por $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Paso 2.3

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 (1 - 1)})$

Paso 2.4

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 \cdot 0})$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0})$

Paso 2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Paso 2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (1) = \ln (0)$

Paso 2.8

El logaritmo natural de cero es indefinido.

$f (1) = Undefined$

Indefinida

Paso 3

El extremo de la expresión radical es $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . En este caso, el punto es $(2, \ln (2 \sqrt{3}))$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \ln ((2) \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Suma $2$ y $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 (2 - 1)})$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 \cdot 1})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3})$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $\ln (2 \sqrt{3})$ .

$y = \ln (2 \sqrt{3})$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . En este caso, el punto es $(3, \ln (6 \sqrt{2}))$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \ln ((3) \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Suma $3$ y $1$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (3 - 1)})$

Paso 4.2.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 \cdot 2})$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{8})$

Paso 4.2.2.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (2)})$

Paso 4.2.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Paso 4.2.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (3) = \ln (3 (2 \sqrt{2}))$

Paso 4.2.2.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (3) = \ln (6 \sqrt{2})$

Paso 4.2.2.7

La respuesta final es $\ln (6 \sqrt{2})$ .

$y = \ln (6 \sqrt{2})$

Paso 4.3

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(1, Undefined), (2, 1.24), (3, 2.14)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 1.24 \\ 3 & 2.14 \end{array}$

Paso 5