Cálculo Ejemplos

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 2

Combina $2$ y $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.8

Combina fracciones.

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Paso 4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.8.3

Multiplica $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ por $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Multiplica $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Multiplica $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Paso 5.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.2

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.4

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.4

Factoriza $4$ de $- 4 x - 4$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.8

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 6.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$