Cálculo Ejemplos

$[(x^{2} + x^{3}) (x + 9)]$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + x^{3}$ y $g (x) = x + 9$ .

$(x^{2} + x^{3}) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} + x^{3}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} + x^{3}) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

Paso 2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} + x^{3}) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x^{2} + x^{3}) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

Paso 2.4.2

Multiplica $x^{2} + x^{3}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + x^{3}]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x + 3 x^{2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{3} + (x + 9) (2 x) + (x + 9) (3 x^{2})$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{3} + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) (3 x^{2})$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{3} + x (2 x) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.5

Multiplica $2$ por $9$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + x (3 x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{1 + 2} + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.8

Suma $1$ y $2$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{3} + 9 (3 x^{2})$

Paso 3.4.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 18 x + 3 x^{3} + 27 x^{2}$

Paso 3.4.10

Suma $2 x^{2}$ y $27 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} + 29 x^{2} + 18 x + 3 x^{3}$

Paso 3.4.11

Suma $x^{2}$ y $29 x^{2}$ .

$x^{3} + 30 x^{2} + 18 x + 3 x^{3}$

Paso 3.4.12

Suma $x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 30 x^{2} + 18 x$