Cálculo Ejemplos

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Paso 1

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)]$

Paso 2

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)]$

Paso 3.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ y $g (x) = 4 x - 4$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [4 x - 4] + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + 0) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot 4 + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} - 8 x + 16$ .

$4 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Paso 5.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Paso 5.9

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Paso 5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Paso 5.11

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16])$

Paso 5.12

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + 0)$

Paso 5.13

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5

Combina los términos.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x \cdot x - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x^{1}) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{1 + 1} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.7

Suma $1$ y $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.8

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.9

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x - 4 \cdot - 8$

Paso 6.5.10

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x + 32$

Paso 6.5.11

Resta $32 x$ de $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 40 x + 32$

Paso 6.5.12

Suma $4 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 32 x + 64 - 40 x + 32$

Paso 6.5.13

Resta $40 x$ de $- 32 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 + 32$

Paso 6.5.14

Suma $64$ y $32$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96$