Cálculo Ejemplos

$e^{3 \ln (x^{2})}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 \ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 \ln (x^{2})$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Paso 2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $3$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Combina $\frac{3}{x^{2}}$ y $e^{3 \ln (x^{2})}$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $2$ y $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

Paso 4.4.3

Combina $\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.4.4.1

Factoriza $x$ de $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

Paso 4.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Paso 4.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Paso 4.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Simplifica $3 \ln (x^{2})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

Paso 5.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

Paso 5.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 5.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{6}}{x}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $6 x^{6}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

Paso 5.2.2.5

Divide $6 x^{5}$ por $1$ .

$6 x^{5}$