Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{3 x^{3} + 1} \ln (2 x^{3} + 3)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{3 x^{3} + 1}$ y $g (x) = \ln (2 x^{3} + 3)$ .

$e^{3 x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 3)] + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x^{3} + 3$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x^{3} + 3$ .

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x^{3} + 3$ .

$e^{3 x^{3} + 1} (\frac{1}{2 x^{3} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2 x^{3} + 3}$ y $e^{3 x^{3} + 1}$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3] + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2} + 0) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} (6 x^{2}) + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.7.2

Combina $6$ y $\frac{e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3} x^{2} + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 3.7.3

Combina $\frac{6 e^{3 x^{3} + 1}}{2 x^{3} + 3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{3} + 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x^{3} + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 5.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 5.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2} + 0))$

Paso 5.6

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2}))$

Paso 6

Para escribir $\ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{3} + 3}{2 x^{3} + 3}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2}}{2 x^{3} + 3} + \frac{\ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2})) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} (9 x^{2})) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 9 \ln (2 x^{3} + 3) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.2

Simplifica $9 \ln (2 x^{3} + 3)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3} + 3)}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) (2 x^{3}) + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.5

Multiplica $\ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) (e^{3 x^{3} + 1} x^{2}) \cdot 3$ .

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Paso 8.1.1.5.1

Reordena $\ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ y $3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot (3 \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}))}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.5.2

Simplifica $3 \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{2} x^{3} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.1.6.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} (x^{3} x^{2}) + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{3 + 2} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + 2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.2

Simplifica $2 \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{2}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{2}$ .

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Paso 8.1.1.6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9 \cdot 2}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.3.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.4

Multiplica los exponentes en ${({(2 x^{3} + 3)}^{9})}^{3}$ .

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Paso 8.1.1.6.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{9 \cdot 3})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.1.6.4.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \cdot \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.1.2

Reordena los factores en $6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) e^{3 x^{3} + 1} x^{5} + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})$ .

$\frac{6 x^{2} e^{3 x^{3} + 1} + x^{5} e^{3 x^{3} + 1} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) + x^{2} e^{3 x^{3} + 1} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$

Paso 8.2

Reordena los términos.

$\frac{6 e^{3 x^{3} + 1} x^{2} + e^{3 x^{3} + 1} x^{5} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{18}) + e^{3 x^{3} + 1} x^{2} \ln ({(2 x^{3} + 3)}^{27})}{2 x^{3} + 3}$