Cálculo Ejemplos

$\tan (\ln (a x + b))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ es $f' (g (a)) g' (a)$ donde $f (a) = \tan (a)$ y $g (a) = \ln (a x + b)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Paso 1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ es $f' (g (a)) g' (a)$ donde $f (a) = \ln (a)$ y $g (a) = a x + b$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{a x + b}$ y $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a x + b$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 3.3

Como $x$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $a x$ con respecto a $a$ es $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 3.6

Como $b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $b$ con respecto a $a$ es $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

Paso 3.7.2

Combina $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ y $x$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores en $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ .

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$