Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3.1.2

Resta $3 x^{2}$ de $0$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{6}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{4}}$