Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Paso 9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Paso 13.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Paso 13.3

Reescribe $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Paso 13.4

Reescribe $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Paso 13.5

Reordena $- {(2 \sin (x))}^{2}$ y ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Paso 13.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 \cos (x)$ y $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Paso 13.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Paso 13.8

Expande $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Paso 13.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Paso 13.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.9

Combina los términos opuestos en $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Paso 13.9.1

Reordena los factores en los términos $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ y $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.9.2

Suma $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ y $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.9.3

Suma $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ y $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.10

Simplifica cada término.

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Paso 13.10.1

Multiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Paso 13.10.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.10.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.10.1.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.10.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.10.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 13.10.2

Multiplica $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Paso 13.10.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Paso 13.10.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 13.10.2.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 13.10.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 13.10.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$