Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Paso 5.2.5

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Paso 5.2.6

Combina $2$ y $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Paso 5.2.7

Combina $\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ y $x$ .

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.9.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{2}{x}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{2}{x} + 1$