Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} + 9}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{\sqrt{x} + 9}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{x^{\frac{1}{2}} + 9}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{x^{\frac{1}{2}} + 9})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 9$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.7.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.8

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.9

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.12

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.13

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.15

Simplifica el numerador.

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Paso 4.15.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.15.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.16

Combina fracciones.

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Paso 4.16.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.16.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.16.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.17

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.18

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19

Simplifica.

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Paso 4.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.19.4.1

Combina los términos opuestos en $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 4.19.4.1.1

Resta $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.1.2

Suma $9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.19.4.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.2.3

Combina $9$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9 + 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.4

Suma $9$ y $9$ .

$\frac{\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.5

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.19.4.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.5

Combina los términos.

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Paso 4.19.5.1

Reescribe $\frac{\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$ como un producto.

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 4.19.5.2

Multiplica $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{9}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$