Cálculo Ejemplos

${(\sin (x))}^{\ln (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\sin (x))}^{\ln (x)}$ como $e^{\ln ({(\sin (x))}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\sin (x))}^{\ln (x)})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\sin (x))}^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (x))$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 5

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x})$

Paso 8

Combina $\ln (\sin (x))$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Paso 9.2

Combina $e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}$ y $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (x) \csc (x) \cos (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$