Cálculo Ejemplos

$\ln (\cos (2 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Paso 4.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Paso 5.2

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Paso 5.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Paso 5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Paso 5.5

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{2}{\cos (2 x)}$ .

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

Paso 5.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Paso 5.7

Separa las fracciones.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

Paso 5.8

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

Paso 5.9

Divide $2$ por $1$ .

$- (2 \tan (2 x))$

Paso 5.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \tan (2 x)$