Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = a x + b$ y $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x + b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.6

Suma $a$ y $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $c x + d$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c x$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $c$ por $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $d$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $d$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 2.12

Suma $c$ y $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3.4

Combina los términos opuestos en $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

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Paso 3.4.1

Reordena los factores en los términos $c x a$ y $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $a c x$ de $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $d a$ y $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$