Cálculo Ejemplos

$\sin (2 x)$

Paso 1

Escribe $\sin (2 x)$ como una función.

$f (x) = \sin (2 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (2 x) d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Paso 7

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$