Cálculo Ejemplos

$x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2} = 6$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 2.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Paso 3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x^{2} y' + 8 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $8 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ .

$y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ por $x^{2} + 8 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ por $x^{2} + 8 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 8 y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2} - 2 x y$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $x$ de $x (- 3 x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe $- (3 x + 2 y)$ como $- 1 (3 x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Paso 5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$