Cálculo Ejemplos

$x^{4} + y^{4} = 16$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x^{3} + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + 4 y^{3} y'$

Paso 3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $4 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ por $4 y^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ por $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 (y^{3})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x^{3}}{y^{3}}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$