Cálculo Ejemplos

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.5

Combina $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ y $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3.2

Reordena los factores en $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3.3

Mueve $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3.4

Reordena $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ y $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $(1 + y') y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reordena $y^{2}$ y $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y' y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Paso 5.3.2

Resta $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.5

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.6

Divide cada término en $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ por $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.6.1

Divide cada término en $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ por $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.6.2.1

Cancela el factor común de $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

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Paso 5.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.6.3.1

Combina en una fracción.

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Paso 5.3.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Paso 5.3.6.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.2.2

Reescribe $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ como $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.6.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Paso 5.3.6.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Paso 5.3.6.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Paso 5.3.6.3.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.6.3.3.4.1

Reescribe $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ como $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Paso 5.3.6.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$