Cálculo Ejemplos

$5 y^{2} = \frac{4 x - 3}{4 x + 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x - 3}{4 x + 3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x - 3$ y $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 3) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.12.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.12.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Combina los términos opuestos en $4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Resta $4 (4 x)$ de $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Suma $4 \cdot 3$ y $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{12 + 12}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Suma $12$ y $12$ .

$\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 5

Divide cada término en $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ por $10 y$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Paso 5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{10 y}$

Paso 5.3.2

Combinar.

$y' = \frac{24 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $24$ y $10$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $24 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de ${(4 x + 3)}^{2} (10 y)$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{12 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (5 y)}$

Paso 5.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $12$ por $1$ .

$y' = \frac{12}{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 5 y}$

Paso 5.3.4.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(4 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{12}{5 \cdot {(4 x + 3)}^{2} y}$

Paso 5.3.4.3

Reordena los factores en $\frac{12}{5 {(4 x + 3)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$