Cálculo Ejemplos

$3 x y - x^{2} - 4 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x y - x^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y - x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x y' + y) - 2 x + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x y') + 3 y - 2 x + 0$

Paso 2.5.2

Suma $3 x y' + 3 y - 2 x$ y $0$ .

$3 x y' + 3 y - 2 x$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$3 x y' - 2 x + 3 y$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x y' - 2 x + 3 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x y' + 3 y = 2 x$

Paso 5.1.2

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x y' = 2 x - 3 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x y' = 2 x - 3 y$ por $3 x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x y' = 2 x - 3 y$ por $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Paso 5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Paso 5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2}{3} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} - \frac{y}{x}$