Cálculo Ejemplos

$y^{2} = \frac{x^{2}}{x y - 2500}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x y - 2500})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x y - 2500$ .

$\frac{(x y - 2500) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x y - 2500]}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x y - 2500) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x y - 2500]}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x y - 2500$ .

$\frac{2 \cdot (x y - 2500) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x y - 2500]}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - 2500$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2500]$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $- 2500$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2500$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y + 0)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.8

Suma $x y' + y$ y $0$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (x y) + 2 \cdot - 2500) x - x^{2} (x y' + y)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x y) x + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y' + y)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x y) x + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x y) + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.2

Multiplica $2$ por $- 2500$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - (x \cdot x^{2}) y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.9.4.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - (x^{1} x^{2}) y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - x^{1 + 2} y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - x^{3} y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.2

Resta $x^{2} y$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{1 x^{2} y - 5000 x - x^{3} y'}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} y - 5000 x - x^{3} y'}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.5

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} y - x^{3} y' - 5000 x}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.6

Factoriza $x$ de $x^{2} y - x^{3} y' - 5000 x$ .

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Paso 3.9.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2} y$ .

$\frac{x (x y) - x^{3} y' - 5000 x}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.6.2

Factoriza $x$ de $- x^{3} y'$ .

$\frac{x (x y) + x (- x^{2} y') - 5000 x}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.6.3

Factoriza $x$ de $- 5000 x$ .

$\frac{x (x y) + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.6.4

Factoriza $x$ de $x (x y) + x (- x^{2} y')$ .

$\frac{x (x y - x^{2} y') + x \cdot - 5000}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 3.9.6.5

Factoriza $x$ de $x (x y - x^{2} y') + x \cdot - 5000$ .

$\frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = \frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por ${(x y - 2500)}^{2}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = \frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}} {(x y - 2500)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}} {(x y - 2500)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(x y - 2500)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = \frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}} {(x y - 2500)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x (x y - x^{2} y' - 5000)$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x (x y) + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Paso 5.2.1.3

Simplifica.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1.1

Mueve $x$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x \cdot x y + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Paso 5.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Paso 5.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x (x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Paso 5.2.1.3.3

Mueve $- 5000$ a la izquierda de $x$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x (x^{2} y') - 5000 \cdot x$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - (x^{2} x) y' - 5000 \cdot x$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - (x^{2} x^{1}) y' - 5000 \cdot x$

Paso 5.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x^{2 + 1} y' - 5000 \cdot x$

Paso 5.2.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x^{3} y' - 5000 \cdot x$

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x^{3} y' - 5000 x$

Paso 5.2.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.5.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - y' x^{3} - 5000 x$

Paso 5.2.1.5.2

Reordena $x^{2} y$ y $- y' x^{3}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = - y' x^{3} + x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.1.1

Suma $y' x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.1

Reescribe ${(x y - 2500)}^{2}$ como $(x y - 2500) (x y - 2500)$ .

$2 y y' ((x y - 2500) (x y - 2500)) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.2

Expande $(x y - 2500) (x y - 2500)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' (x y (x y - 2500) - 2500 (x y - 2500)) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' (x y (x y) + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y - 2500)) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' (x y (x y) + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 y y' (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y y' (x^{2} y \cdot y + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$2 y y' (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3.1.3

Mueve $- 2500$ a la izquierda de $x y$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} - 2500 \cdot (x y) - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3.1.4

Multiplica $- 2500$ por $- 2500$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} - 2500 x y - 2500 x y + 6250000) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.3.2

Resta $2500 x y$ de $- 2500 x y$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} - 5000 x y + 6250000) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' (x^{2} y^{2}) + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5

Simplifica.

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Paso 5.3.1.2.5.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.5.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$2 (y^{2} y) y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.3.1.2.5.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 (y^{2} y^{1}) y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y^{2 + 1} y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.5.2.1

Mueve $y$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (- 5000 x) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 y^{2} y' (- 5000 x) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.5.3

Multiplica $6250000$ por $2$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 y^{2} y' (- 5000 x) + 12500000 y y' + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.1.2.6

Multiplica $- 5000$ por $2$ .

$2 y^{3} y' x^{2} - 10000 y^{2} y' x + 12500000 y y' + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $2 y^{3} y' x^{2} - 10000 y^{2} y' x + 12500000 y y' + y' x^{3}$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y^{3} y' x^{2}$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) - 10000 y^{2} y' x + 12500000 y y' + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- 10000 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x) + 12500000 y y' + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $12500000 y y'$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2.4

Factoriza $y'$ de $y' x^{3}$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x)$ .

$y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2.6

Factoriza $y'$ de $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y)$ .

$y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.2.7

Factoriza $y'$ de $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y) + y' (x^{3})$ .

$y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$ por $2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$ por $2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}$ .

$\frac{y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3})}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}} = \frac{x^{2} y}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}} + \frac{- 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{x^{2} y}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}} + \frac{- 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{x^{2} y - 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Paso 5.3.3.3.2

Factoriza $x$ de $x^{2} y - 5000 x$ .

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Paso 5.3.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (x y) - 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Paso 5.3.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $- 5000 x$ .

$y' = \frac{x (x y) + x \cdot - 5000}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Paso 5.3.3.3.2.3

Factoriza $x$ de $x (x y) + x \cdot - 5000$ .

$y' = \frac{x (x y - 5000)}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x y - 5000)}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$