Cálculo Ejemplos

$y^{2} - x^{3} = 22$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (22)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 y y' - (3 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 y y' - 3 x^{2}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

Paso 3

Como $22$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $22$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' = 3 x^{2}$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2}$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2}$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$