Cálculo Ejemplos

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{y}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + \sin (x y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Paso 3.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Paso 3.3.2

Suma $0$ y $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ .

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Paso 5.3

Resta $x y' \cos (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Paso 5.4

Suma $e^{y} \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $y' e^{y} \cos (x)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ por $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ por $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$