Cálculo Ejemplos

$x y = \cot (x y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ .

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

Paso 5.2

Suma $x y' \csc^{2} (x y)$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

Paso 5.3

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Paso 5.4

Factoriza $x y'$ de $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x y'$ de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Paso 5.4.2

Factoriza $x y'$ de $x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Paso 5.4.3

Factoriza $x y'$ de $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Paso 5.5

Divide cada término en $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ por $x (1 + \csc^{2} (x y))$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ por $x (1 + \csc^{2} (x y))$ .

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $1 + \csc^{2} (x y)$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 5.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$