Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ como ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 3)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$