Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} + 3$ y $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.12.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.12.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.5.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.6

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Combina los términos opuestos en $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

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Paso 1.1.3.5.2.1

Resta $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2.2

Suma $20 x$ y $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Resta $24 x$ de $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 4.1.2.1.3

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3}{0 + 5}$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{3}{5}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{3}{5})$

Paso 5