Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 72$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} + 6 x - 72$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 72$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 72 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 72 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6$ de $- 72$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12$ .

$6 (x^{2} + x - 12) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $3, - 4$ .

$3, - 4$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 72$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot 25 + 6 (- 5) - 72$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $25$ .

$f' (- 5) = 150 + 6 (- 5) - 72$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = 150 - 30 - 72$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $30$ de $150$ .

$f' (- 5) = 120 - 72$

Paso 5.2.2.2

Resta $72$ de $120$ .

$f' (- 5) = 48$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $48$ .

$48$

Paso 5.3

En $x = - 5$ la derivada es $48$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.7

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 72$

Paso 6.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 72$

Paso 6.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 72$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 72$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 72$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 72$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 72$

Paso 6.2.2.4

Escribe $- 72$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{- 72}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{- 72}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 72 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 72 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 72$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 144}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Resta $6$ de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 144}{2}$

Paso 6.2.5.2

Resta $144$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 147}{2}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{147}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

Paso 6.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{147}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 4, 3)$ .

Decrecimiento en $(- 4, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 72$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 72$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $16$ .

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 72$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$f' (4) = 96 + 24 - 72$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $96$ y $24$ .

$f' (4) = 120 - 72$

Paso 7.2.2.2

Resta $72$ de $120$ .

$f' (4) = 48$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $48$ .

$48$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $48$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 4), (3, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 4, 3)$

Paso 9